Principe de moindre action (ou d'action extrémale) - Le formalisme lagrangien

Vous apprêter à modifier un cours, merci de respecter certaines règles.
-Respecter la politique Daskoo: Expliquer simplement, clairement... Compréhensible par tous !
- Insérer des images présente sur le serveur.
- Ne pas insérer du texte provenant d'un autre site/article, sans l'accord du/des auteurs.

Titre & matière du cours <<<

Titre du cours:

Branche/Matière:

Aide à la validation <<<

Rapide descriptif de la modification: ( Très important pour les validateurs )

Texte <<<

	Ajouter une image
	Tous les smileys

=Point matériel en théorie relativiste=

En relativité restreinte, nous savons que l'intervalle élémentaire d'espace-temps, <math>ds</math>, défini par

(On a <math>ds^2>0</math> pour toute particule matérielle, ce qui signifie également que sa vitesse, mesurée dans tout référentiel, est inférieure à <math>c</math>, vitesse de la lumière)

sur la trajectoire d'espace-temps d'un mobile, est un invariant relativiste (invariant par changement de référentiel galiléen).

On peut faire l'hypothèse que pour une particule matérielle libre, l'action n'est autre (à une constante multiplicative, d'une certaine dimension physique, près) que l'intervalle d'espace-temps :

<math>S=k\int_{t_A}^{t_B}ds=k\int_{t_A}^{t_B}\sqrt{c^2dt^2-dx^2-dy^2-dz^2}=k\int_{t_A}^{t_B}\sqrt{c^2-\left(\frac{dx}{dt}\right)^2-\left(\frac{dy}{dt}\right)^2-\left(\frac{dz}{dt}\right)^2}</math>

soit

D'où le lagrangien d'une particule libre, en théorie relativiste :

Pour préciser la signification de ''k'', calculons l'impulsion de la particule :

<math>p_i=\frac{\partial L}{\partial v_i}=\frac{kc}{2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}(-2\frac{v_i}{c^2})=-\frac{kv_i}{c\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}</math>

Or pour les vitesses négligeables par rapport à ''c'', on doit retrouver asymptotiquement la mécanique classique, à savoir <math>\vec{p}=m\vec{v}</math> ;

Pour <math>\frac{v}{c}\to 0</math>, <math>p_i\to -\frac{kv_i}{c}</math>

d'où l'identification

et (pour la particule libre) :

ce qui donne immédiatement

Calculons à présent l'énergie de la particule libre :

On retrouve la célèbre formule due à A. Einstein :

plus connue sous sa forme où la particule est au repos dans le référentiel considéré :

Voyons la relation entre cette définition de l'énergie et celle de la mécanique non-relativiste :
Si la vitesse <math>v</math> de la particule est petite par rapport à ''c'', on peut faire le développement limité de l'expression

<math>E=\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}=mc^2\left(1+\frac{1}{2}\frac{v^2}{c^2}+\frac{3}{8}\frac{v^4}{c^4}\right)</math>

soit

On retrouve l'énergie "de masse" du corps au repos, <math>mc^2</math>, puis l'énergie cinétique classique, <math>\frac{1}{2}mv^2</math>, puis des corrections relativistes de différents ordres.

''Ordres de grandeur'' : pour <math>v=1000 km/s</math>, 
<math>\frac{1}{2}mv^2=5.10^{11} m</math>
et
<math>\frac{3}{8}m\frac{v^4}{c^2}\simeq 4,16.20^6 m</math>

Le terme correctif est 100 000 fois plus petit que la valeur classique de l'énergie cinétique, donc négligeable. A ces vitesses, la mécanique classique reste une excellente approximation.

Nous pouvons conclure en donnant l'équation du mouvement d'une particule soumise à une force <math>\vec{F}</math> (définie par sa mesure dans le référentiel considéré) :

<math>\vec{F}=\frac{d}{dt}\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)</math>

(dans le cas d'une force dérivant d'un potentiel ''U'', le lagrangien devient <math>L=-mc^2\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}-U</math>)

Montrons que le travail d'une force appliquée à une particule est bien toujours la variation de l'énergie de cette particule :

<math>\vec{F}.\vec{dr}=\frac{d}{dt}\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right).\vec{dr}=\frac{d}{dt}\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right).\vec{v}dt=\vec{v}.d\left(\frac{m\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}\right)=\vec{v}.\left(\frac{d\vec{v}}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}-\frac{1}{2}\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-3/2}\vec{v}.(-\frac{2\vec{v}.d\vec{v}}{c^2})\right)</math>
<math>=m\vec{v}.\frac{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)d\vec{v}+\frac{\vec{v}}{c^2}(\vec{v}.d\vec{v})}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}=m\vec{v}.d\vec{v}\frac{1-\frac{v^2}{c^2}+\frac{v^2}{c^2}}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}}</math>

<math>d\left(\frac{mc^2}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\right)=-\frac{1}{2}mc^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}(\frac{-2\vec{v}}{c^2}.d\vec{v})=-\frac{1}{2}mc^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{-\frac{3}{2}}(\frac{-2d\vec{v}}{c^2}.\vec{v})=\frac{m\vec{v}.d\vec{v}}{\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)^{3/2}</math>

On a bien <math>\vec{F}.d\vec{r}=dE</math>

Juste une remarque : lorsque le corps accéléré par la force <math>\vec{F}</math> approche de la vitesse de la lumière (son mouvement étant observé dans le référentiel galiléen défini au départ), <math>E\to +\infty</math>, donc aucune force ne peut fournir un travail suffisant pour lui faire atteindre la vitesse de la lumière dans un référentiel galiléen donné.

Et la transformation de Lorentz, ainsi que sa conséquence, la transformation relativiste des vitesses, montre qu'aucun corps matériel ne peut atteindre la vitesse de la lumière, dans tout référentiel galiléen.

Point matériel en théorie relativiste

En relativité restreinte, nous savons que l'intervalle élémentaire d'espace-temps, $Formule mathématique$ , défini par

$Formule mathématique$ noté $Formule mathématique$

(On a $Formule mathématique$ pour toute particule matérielle, ce qui signifie également que sa vitesse, mesurée dans tout référentiel, est inférieure à $Formule mathématique$ , vitesse de la lumière)

sur la trajectoire d'espace-temps d'un mobile, est un invariant relativiste (invariant par changement de référentiel galiléen).

On peut faire l'hypothèse que pour une particule matérielle libre, l'action n'est autre (à une constante multiplicative, d'une certaine dimension physique, près) que l'intervalle d'espace-temps :

$Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

D'où le lagrangien d'une particule libre, en théorie relativiste :

$Formule mathématique$

Pour préciser la signification de k, calculons l'impulsion de la particule :

$Formule mathématique$

Or pour les vitesses négligeables par rapport à c, on doit retrouver asymptotiquement la mécanique classique, à savoir $Formule mathématique$ ;

Pour $Formule mathématique$ , $Formule mathématique$

d'où l'identification

$Formule mathématique$

et (pour la particule libre) :

$Formule mathématique$

ce qui donne immédiatement

$Formule mathématique$

Calculons à présent l'énergie de la particule libre :

$Formule mathématique$

On retrouve la célèbre formule due à A. Einstein :

$Formule mathématique$

plus connue sous sa forme où la particule est au repos dans le référentiel considéré :

$Formule mathématique$

Voyons la relation entre cette définition de l'énergie et celle de la mécanique non-relativiste :
Si la vitesse $Formule mathématique$ de la particule est petite par rapport à c, on peut faire le développement limité de l'expression

$Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

On retrouve l'énergie "de masse" du corps au repos, $Formule mathématique$ , puis l'énergie cinétique classique, $Formule mathématique$ , puis des corrections relativistes de différents ordres.

Ordres de grandeur : pour $Formule mathématique$ ,
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$

Le terme correctif est 100 000 fois plus petit que la valeur classique de l'énergie cinétique, donc négligeable. A ces vitesses, la mécanique classique reste une excellente approximation.

Nous pouvons conclure en donnant l'équation du mouvement d'une particule soumise à une force $Formule mathématique$ (définie par sa mesure dans le référentiel considéré) :

$Formule mathématique$

(dans le cas d'une force dérivant d'un potentiel U, le lagrangien devient $Formule mathématique$ )

Montrons que le travail d'une force appliquée à une particule est bien toujours la variation de l'énergie de cette particule :

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

$Formule mathématique$

On a bien $Formule mathématique$

Juste une remarque : lorsque le corps accéléré par la force $Formule mathématique$ approche de la vitesse de la lumière (son mouvement étant observé dans le référentiel galiléen défini au départ), $Formule mathématique$ , donc aucune force ne peut fournir un travail suffisant pour lui faire atteindre la vitesse de la lumière dans un référentiel galiléen donné.

Membres

Cours

Ressources

Site

Licence

Partenaires

Principe de moindre action (ou d'action extrémale) - Le formalisme lagrangien

Point matériel en théorie relativiste