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1 Planéité du mouvement 2 Mise en équations 2.1 Deuxième loi de Kepler 2.2 Formules de Binet 3 Résolution des équations du mouvement 3.1 Première Loi de Kepler 4 Energie et classement des trajectoires des corps célestes 4.1 Périhélie, aphélie, paramètre et excentricité 4.2 Troisième loi de Kepler 5 Application à la navigation interplanétaire : orbite de Hohmann pour le transfert Terre-Mars
Nous allons voir que le problème du mouvement d'une planète autour du Soleil (en négligeant toute influence d'autres planètes ou corps célestes) se ramène à un problème assez simple dans le plan, du moins si nous savons le simplifier.
Une planète de masse m est soumise de la part du Soleil (de masse M) à une force attractive de nature gravitationnelle
où est le vecteur unitaire dirigé du centre S du Soleil au centre P de la planète.
On a posé
On supposera d'abord ici que M >> m, ce qui permettra de supposer que la force subie par le Soleil ne lui communiquera qu'une accélération négligeable, et que par suite, on pourra supposer le Soleil fixe dans un référentiel galiléen, que nous appellerons référentiel héliocentrique.
Rappelons le théorème du moment cinétique. Le moment cinétique de la planète P par rapport au point S est
Le moment d'une force subie par la planète par rapport au point S est
et le théorème du moment cinétique affirme que
Or une planète est soumise à une force centrale, c'est-à-dire telle que . Ce qui implique
P se trouve dans un plan passant par le point (admis comme) fixe S et orthogonal à un vecteur fixe, , donc de direction fixe.
Le mouvement de P est donc plan, nous appellerons ce plan écliptique pour le cas de la planète Terre.
Nous choisirons dans le plan de l'écliptique, un repère dont les vecteurs unitaires sont dirigés vers des étoiles fixes (ce repère est lié au référentiel héliocentrique, considéré comme galiléen).
On posera
et l'on définira un repère mobile tel que
soit dans la base :
et est directement orthogonal à , soit
On remarquera que
(la notation désigne )
On a donc
La vitesse de P (dans le référentiel héliocentrique, mais on omettra cette précision à partir d'ici) est
soit
et l'accélération de P est
Comme
On déduit de la dernière expression de l'accélération le système d'équations
La première équation du système précédent peut s'écrire
où C est une constante, appelée constante des aires.
Pourquoi cette dénomination ? En effet, considérons un mouvement infinitésimal de la planète : l'aire balayée par le rayon-vecteur est
L'aire balayée en une unité de temps, ou vitesse aréolaire, est
C'est une constante : pendant une durée t, l'aire balayée par le rayon-vecteur est .
Enonçons la deuxième loi de Kepler : Les aires balayées par le rayon-vecteur reliant le Soleil à la planète en des temps égaux sont égales.
Nous allons voir qu'une idée extrêmement simple peut nous aider en simplifiant puissamment notre problème.
Posons . Alors la définition de la constante des aires s'écrit
et
(On a posé , d'où ) ce qui donne la formule très simple :
De même, en dérivant cette dernière égalité,
La deuxième équation du système, , s'écrit
Une équation différentielle fort simple ! Sa solution générale est :
où K et sont des réels quelconques. Cela nous donne
que nous écrirons
ou
Cette équation est l'équation en coordonnées polaires d'une conique, dont un foyer est le soleil. Nous allons voir que e< 1, auquel cas la conique est une ellipse.
La Première Loi de Kepler s'énonce ainsi : Les planètes parcourent des ellipses dont le Soleil occupe l'un des foyers.
On appellera le paramètre de l'orbite, e son excentricité.
On sait que l'énergie mécanique d'une planète dans le champ gravitationnel du Soleil est
On avait
Avec , et , on obtient
Cette énergie doit être négative pour que le système Terre-Soleil soit lié. Aussi, pour une planète, .
On peut poser que l'excentricité est par définition positive, auquel cas, . (en effet, changer de signe le nombre e revient à ajouter un angle dans l'argument du cosinus ; cela revient donc à un choix de l'origine des angles).
correspond aux orbites elliptiques dont le Soleil occupe l'un des foyers.
Le cas correspond à (en s'éloignant à l'infini, l'astre voit sa vitesse tendre vers zéro). L'orbite est une parabole dont le Soleil est le foyer : il vient de l'infini, contourne le Soleil et repart à l'infini.
Les cas correspondent à (en s'éloignant à l'infini, l'astre conserve une vitesse minimale : son orbite est une hyperbole dont le Soleil occupe l'un des foyers. L'astre vient de l'infini d'un mouvement quasi-rectiligne, puisqu'il frôle l'une de ses asymptotes, et repart de même à l'infini après avoir contourné le Soleil.
Posons . Les maximum et minimum de r sont
Le point de l'orbite où est appelé périhélie" ou plus généralement périastre ; et le point opposé de l'orbite, où , est appelé aphélie ou plus généralement apoastre''.
Connaissant , on peut calculer p et e :
ce qui justifie le terme "excentricité", et
Cette dernière égalité signifie que p est la moyenne harmonique de
Cette loi affirme que
Les carrés des périodes de révolution sont proportionnels aux cubes des grands axes des orbites planétaires.
Voyons la période de révolution orbitale (durée de l'année planétaire) : on sait que la vitesse aréolaire est
; commme l'aire de la surface limitée par l'ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b est , on a
où T est la période de révolution planétaire. D'où :
Or le demi-grand axe de l'orbite d'équation en coordonnées polaires
est
et le demi-petit axe de l'orbite est
Or cette fonction a un maximum au point où sa dérivée s'annule :
Alors
Donc
De cette égalité découle la Troisième Loi de Kepler.
L'orbite de Hohmann est la trajectoire réclamant la plus petite dépense énergétique pour passer d'une orbite circulaire de rayon r à une autre orbite circulaire de rayon R. C'est une ellipse tangente aux deux cercles. Une première poussée a lieu au départ en P (périhélie de l'orbite de Hohmann) ; à l'arrivée au point de contact avec l'orbite martienne, en A (aphélie de l'orbite de Hohmann), on doit fournir une deuxième poussée, pour augmenter la vitesse orbitale du vaisseau et lui donner celle de Mars, sans quoi celui-ci "retomberait" par l'autre demi-ellipse vers le point P sur l'orbite terrestre, et continuerait indéfiniment son mouvement orbital elliptique.
Calculons les vitesses orbitales de la Terre et de Mars : elles sont solutions de
(M est la masse du soleil)
On a vu que la vitesse a pour carré
avec
comme , cela donne
Au périhélie P, on a
et à l'aphélie A :
Calculs annexes : et
On a posé (c'est approximatif)
ce qui donne par exemple
donc
D'autre part, en examinant un schéma de l'ellipse de Hohmann,
Conclusion :
Au périhélie, au voisinage de la Terre, on doit donner au vaisseau une vitesse supplémentaire
et à l'aphélie, au voisinage de Mars, on doit donner au vaisseau une vitesse supplémentaire
Remarque En fait, on doit dépenser plus que cela : pour pouvoir être considéré comme au départ en P, il faut déjà avoir atteint la vitesse de libération du champ gravitationnel de la Terre, soit
En effet, le calcul de la vitesse de libération s'écrit
Il faut enfin compter avec l'énergie dépensée à l'arrivée pour la mise en orbite autour de Mars et l'atterrissage d'un véhicule adéquat, sinon de tout le vaisseau.
Durée du transfert (demi-période de l'orbite de Hohmann)
On a vu que la durée d'une révolution orbitale est
où A est l'aire de l'orbite elliptique, C la constante des aires.
On a
La durée du transfert est donc
Cette valeur est intermédiaire entre la demi-année terrienne (183 jours) et la demi-année martienne (1 année terrestre).
