Mécanique céleste

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=Application à la navigation interplanétaire : orbite de Hohmann pour le transfert Terre-Mars=

L'orbite de Hohmann est la trajectoire réclamant la plus petite dépense énergétique pour passer d'une orbite circulaire de rayon ''r'' à une autre orbite circulaire de rayon ''R''. C'est une ellipse tangente aux deux cercles.
((orbitedetransfertTerreMars|Orbite de Hohmann))
Une première poussée a lieu au départ en ''P'' (périhélie de l'orbite de Hohmann) ; à l'arrivée au point de contact avec l'orbite martienne, en ''A'' (aphélie de l'orbite de Hohmann), on doit fournir une deuxième poussée, pour augmenter la vitesse orbitale du vaisseau et lui donner celle de Mars, sans quoi celui-ci "retomberait" par l'autre demi-ellipse vers le point ''P'' sur l'orbite terrestre, et continuerait indéfiniment son mouvement orbital elliptique.

Calculons les vitesses orbitales de la Terre et de Mars : elles sont solutions de

(''M'' est la masse du soleil)

soit

<math>v_T=\sqrt{\frac{GM}{r}}\simeq 30\,km/s\,et\,v_M=\sqrt{\frac{GM}{R}}=v_T\sqrt{\frac{r}{R}}\simeq24,494\,km/s</math>

On a vu que la vitesse a pour carré

avec

<math>u=\frac{1+e\cos\theta}{p}</math>
et
<math>u'=\frac{-e\sin\theta}{p}</math>

soit

<math>v^2=\frac{C^2}{p^2}(1+2e\cos\theta+e^2)</math>

comme <math>C^2=pGM</math>, cela donne

<math>v^2=\frac{GM}{p}(1+2e\cos\theta+e^2)</math>

Au périhélie ''P'', on a

et à l'aphélie ''A'' :

Calculs annexes : 
<math>v_T=3.10^4\,m/s=\sqrt{\frac{GM}{r}}</math>
et
<math>r=150.10^9\,m</math>

On a posé <math>R=1,5r</math> (c'est approximatif)

ce qui donne par exemple

donc

<math>GM=rv_T^2\simeq1,35.10^{20}\,s.i.</math>

D'autre part, en examinant un schéma de l'ellipse de Hohmann,

Donc

<math>p=\frac{r+R}{2}(1-e^2)\simeq\frac{1,5.10^9+1,5.1,5.10^9}{2}(1-\frac{1}{25})\simeq 1,8.10^{11}</math>

Donc

<math>v_P\simeq \sqrt{\frac{1,35.10^{20}}{1,8.10^{11}}}(1+\frac{1}{5})\simeq 32\,863\,m/s</math>

<math>v_A\simeq \sqrt{\frac{1,35.10^{20}}{1,75.10^{11}}}(1-\frac{1}{5})\simeq21\,908\,m/s</math>

Conclusion :

Au périhélie, au voisinage de la Terre, on doit donner au vaisseau une vitesse supplémentaire <math>32\,863-30\,000=2\,863\,m/s</math>

et à l'aphélie, au voisinage de Mars, on doit donner au vaisseau une vitesse supplémentaire <math>24\,494-21\,908=2\,586\,m/s</math>

__Remarque__
En fait, on doit dépenser plus que cela : pour pouvoir être considéré comme au départ en P, il faut déjà avoir atteint la vitesse de libération du champ gravitationnel de la Terre, soit <math>v_L\simeq 11,2\,km/s</math>

En effet, le calcul de la vitesse de libération s'écrit

<math>\frac{1}{2}v^2-G\frac{M_{Terre}}{r}=0</math>
 soit
<math>v=\sqrt{\frac{2GM_{Terre}}{r}}\simeq 11,2.10^3\,m/s\simeq 40\,000\,km/h</math>

Il faut enfin compter avec l'énergie dépensée à l'arrivée pour la mise en orbite autour de Mars et l'atterrissage d'un véhicule adéquat, sinon de tout le vaisseau.

__Durée du transfert (demi-période de l'orbite de Hohmann)__

On a vu que la durée d'une révolution orbitale est

où ''A'' est l'aire de l'orbite elliptique, ''C'' la constante des aires.

On a

<math>C=\sqrt{pGM}\simeq\sqrt{1,8.10^{11}.1.35.10^{20}}\simeq 4,929503.10^{15}</math>

<math>A=\pi a b=\pi\frac{p}{1-e^2}\frac{p}{\sqrt{1-e^2}}=\frac{\pi p^2}{(1-e^2)^{3/2}}\simeq \frac{\pi(1,8.10^{11})^2}{(1-\frac{1}{25})^{3/2}}\simeq 1,082151.10^{23}</math>

La durée du transfert est donc

<math>\frac{A}{C}\simeq\frac{1,082151413.10^8}{4,929503}\simeq 21\,952\,545\,s\simeq6098\,h\simeq\,254\,jours</math>

Cette valeur est intermédiaire entre la demi-année terrienne (183 jours) et la demi-année martienne (1 année terrestre).

Application à la navigation interplanétaire : orbite de Hohmann pour le transfert Terre-Mars

L'orbite de Hohmann est la trajectoire réclamant la plus petite dépense énergétique pour passer d'une orbite circulaire de rayon r à une autre orbite circulaire de rayon R. C'est une ellipse tangente aux deux cercles.

Une première poussée a lieu au départ en P (périhélie de l'orbite de Hohmann) ; à l'arrivée au point de contact avec l'orbite martienne, en A (aphélie de l'orbite de Hohmann), on doit fournir une deuxième poussée, pour augmenter la vitesse orbitale du vaisseau et lui donner celle de Mars, sans quoi celui-ci "retomberait" par l'autre demi-ellipse vers le point P sur l'orbite terrestre, et continuerait indéfiniment son mouvement orbital elliptique.

Calculons les vitesses orbitales de la Terre et de Mars : elles sont solutions de

$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$

(M est la masse du soleil)

soit

$Formule mathématique$

On a vu que la vitesse a pour carré

$Formule mathématique$

avec

$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

comme $Formule mathématique$ , cela donne

$Formule mathématique$

Au périhélie P, on a

$Formule mathématique$

et à l'aphélie A :

$Formule mathématique$

Calculs annexes :
$Formule mathématique$
et
$Formule mathématique$

On a posé $Formule mathématique$ (c'est approximatif)

ce qui donne par exemple

$Formule mathématique$

donc

$Formule mathématique$

D'autre part, en examinant un schéma de l'ellipse de Hohmann,

$Formule mathématique$

Donc

$Formule mathématique$

Donc

$Formule mathématique$

Conclusion :

Au périhélie, au voisinage de la Terre, on doit donner au vaisseau une vitesse supplémentaire $Formule mathématique$

et à l'aphélie, au voisinage de Mars, on doit donner au vaisseau une vitesse supplémentaire $Formule mathématique$

Remarque
En fait, on doit dépenser plus que cela : pour pouvoir être considéré comme au départ en P, il faut déjà avoir atteint la vitesse de libération du champ gravitationnel de la Terre, soit $Formule mathématique$

En effet, le calcul de la vitesse de libération s'écrit

$Formule mathématique$
soit
$Formule mathématique$

Il faut enfin compter avec l'énergie dépensée à l'arrivée pour la mise en orbite autour de Mars et l'atterrissage d'un véhicule adéquat, sinon de tout le vaisseau.

Durée du transfert (demi-période de l'orbite de Hohmann)

On a vu que la durée d'une révolution orbitale est

$Formule mathématique$