Mécanique céleste

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==Troisième loi de Kepler==

Cette loi affirme que

__Les carrés des périodes de révolution sont proportionnels aux cubes des grands axes des orbites planétaires__.

Voyons la période de révolution orbitale (durée de l'année planétaire) : on sait que la vitesse aréolaire est

<math>\frac{dA}{dt}=\frac{C}{2}</math> ; commme l'aire de la surface limitée par l'ellipse de demi-grand axe ''a'' et de demi-petit axe ''b'' est <math>A=\pi ab</math>, on a

où ''T'' est la période de révolution planétaire. D'où :

Or le demi-grand axe de l'orbite d'équation en coordonnées polaires 
<math>r=\frac{p}{1+e\cos\theta}</math>

est

<math>a=\frac{1}{2}\left(\frac{p}{1+e}+\frac{p}{1-e}\right)=\frac{p}{1-e^2}</math>

et le demi-petit axe de l'orbite est

<math>b=y_{max}=max\left(\frac{p\sin\theta}{1+e\cos\theta}\right)</math>

Or cette fonction a un maximum au point où sa dérivée s'annule :

<math>\frac{\cos\theta(1+e\cos\theta)-\sin\theta(-e\sin\theta)}{(1+e\cos\theta)^2}=0</math>

soit

<math>\cos\theta=-e</math>

Alors

Donc

soit

De cette égalité découle la Troisième Loi de Kepler.

Troisième loi de Kepler

Cette loi affirme que

Les carrés des périodes de révolution sont proportionnels aux cubes des grands axes des orbites planétaires.

Voyons la période de révolution orbitale (durée de l'année planétaire) : on sait que la vitesse aréolaire est

$Formule mathématique$ ; commme l'aire de la surface limitée par l'ellipse de demi-grand axe a et de demi-petit axe b est $Formule mathématique$ , on a