MECA2 - Choc élastique de deux billes - Corrigé

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Le système constitué des deux billes peut être considéré comme isolé.
Par conséquent, son impulsion (ou "quantité de mouvement") se conserve au cours du temps.
Le choc étant élastique, son énergie cinétique totale se conserve également.
On a donc, si l'on pose <math>\vec{v}</math> = vitesse de la bille incidente (numérotée 1), l'autre (numérotée 2) étant au repos dans le référentiel de l'observateur, et <math>\vec{v}_1\,,\,\vec{v}_2</math> les vitesses des mêmes billes après le choc :

<math>\left{\begin{array} m\vec{v}=m\vec{v}_1+m\vec{v}_2 \\ \frac{1}{2}mv^2=\frac{1}{2}mv_1^2+\frac{1}{2}mv_2^2 \end{array}\right</math>

soit

<math>\left{\begin{array} \vec{v}=\vec{v}_1+\vec{v}_2 \\ v^2=v_1^2+v_2^2 \end{array}\right</math>

Prenons les carrés scalaires des deux membres de la première équation :

En comparant avec la seconde équation, on obtient

Autrement dit, les deux billes repartent à angle droit, dans le référentiel de l'observateur.

Si la première bille, par exemple, partait avec un angle <math>\theta=\widehat{(\vec{v},\vec{v}_1)}</math>,
alors la deuxième partirait dans la direction définie par <math>\widehat{(\vec{v},\vec{v}_2)}=\widehat{(\vec{v},\vec{v}_1)}+\widehat{(\vec{v}_1,\vec{v}_2)}=\theta-\frac{\pi}{2}</math>

((choc_élastique|Pas de description))

Le système d'équations précédent donne alors

<math>\left{\begin{array} v=v_1\cos\theta+v_2\cos\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) \\ 0=v_1\sin\theta+v_2\sin\left(\theta-\frac{\pi}{2}\right) \end{array}\right</math>

soit

<math>\left{\begin{array} v=v_1\cos\theta+v_2\sin\theta \\ 0 = v_1\sin\theta-v_2\cos\theta \end{array}\right</math>

On peut en tirer les modules ("normes") des deux vitesses après le choc :

<math>v_1=\frac{\left|\begin{array} v \,\,\,\,\sin\theta \\ 0\,\, \,\,-\cos\theta \end{array}\right|}{\left|\begin{array} \cos\theta\,\,\,\,\sin\theta \\ \sin\theta\,\,\,\,-\cos\theta \end{array}\right|}=v\cos\theta</math>
et
<math>v_1=\frac{\left|\begin{array} \cos\theta \,\,\,\,v \\ \sin\theta\,\, \,\,0 \end{array}\right|}{\left|\begin{array} \sin\theta\,\,\,\,\sin\theta \\ \sin\theta\,\,\,\,-\cos\theta \end{array}\right|}=v\sin\theta</math>

Le système constitué des deux billes peut être considéré comme isolé.
Par conséquent, son impulsion (ou "quantité de mouvement") se conserve au cours du temps.
Le choc étant élastique, son énergie cinétique totale se conserve également.
On a donc, si l'on pose $Formule mathématique$ = vitesse de la bille incidente (numérotée 1), l'autre (numérotée 2) étant au repos dans le référentiel de l'observateur, et $Formule mathématique$ les vitesses des mêmes billes après le choc :

$Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

Prenons les carrés scalaires des deux membres de la première équation :

$Formule mathématique$

En comparant avec la seconde équation, on obtient

$Formule mathématique$

Autrement dit, les deux billes repartent à angle droit, dans le référentiel de l'observateur.

Si la première bille, par exemple, partait avec un angle $Formule mathématique$ ,
alors la deuxième partirait dans la direction définie par $Formule mathématique$