NC4 - Factoriser x^6+1 dans le domaine complexe - Corrigé

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1) On peut écrire, en utilisant l'identité remarquable

Utilisons la forme canonique de <math>X^2-X+1</math> (on a posé <math>X=x^2</math>)

qui se trouve en écrivant

<math>X^2-X+1=\left(X-\frac{1}{2}\right)^2-\frac{1}{4}+1=\left(X-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}</math>

On a donc

<math>x^4-x^2+1=\left(x^2-\frac{1}{2}\right)^2+\frac{3}{4}=\left(x^2-\frac{1}{2}-i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\left(x^2-\frac{1}{2}+i\frac{\sqrt{3}}{2}\right)</math>

soit immédiatement

<math>x^4-x^2+1=\left(x^2-e^{i\frac{\pi}{3}}\right)\left(x^2-e^{-i\frac{\pi}{3}}\right)</math>
<math>=\left(x-e^{i\frac{\pi}{6}}\right)\left(x+e^{i\frac{\pi}{6}}\right)\left(x-e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)\left(x+e^{-i\frac{\pi}{6}}\right)</math>
<math>=\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)</math>

En tout, on a, en utilisant <math>x^2+1=(x+i)(x-i)</math> :

<math>x^6+1=(x-i)(x+i)\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)\left(x+\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)</math>

2) On voit que les facteurs (dans l'ordre) 1 et 2, 3 et 5, 4 et 6, sont complexes conjugués l'un de l'autre : en les multipliant ensemble, on obtient des trinômes réels (*) :

<math>\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{i}{2}\right)\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{i}{2}\right)=\left(x-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2+\frac{1}{4}=x^2-x\sqrt{3}+\frac{3}{4}+\frac{1}{4}=x^2-x\sqrt{3}+1</math>

(en effet, <math>(a+ib)(a-ib)=a^2+b^2</math>)

et de même, les deux derniers facteurs donnent <math>x^2+x\sqrt{3}+1</math>.

En tout,on obtient la __factorisation dans le domaine réel__ :

(*) en effet, <math>z\bar{z}=|z|^2=a^2+b^2\,\,si\,\,z=a+ib</math>.

1) On peut écrire, en utilisant l'identité remarquable

$Formule mathématique$

Utilisons la forme canonique de $Formule mathématique$ (on a posé $Formule mathématique$ )

qui se trouve en écrivant

$Formule mathématique$

On a donc

$Formule mathématique$

soit immédiatement

$Formule mathématique$
$Formule mathématique$
$Formule mathématique$

En tout, on a, en utilisant $Formule mathématique$ :

$Formule mathématique$

2) On voit que les facteurs (dans l'ordre) 1 et 2, 3 et 5, 4 et 6, sont complexes conjugués l'un de l'autre : en les multipliant ensemble, on obtient des trinômes réels (*) :

$Formule mathématique$