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Première méthode
Appelons du même nom x le déplacement de m et M. Soit t la tension du fil appliqué sur m et T la tension du fil appliqué sur M. Soit t' la tension du fil appliquée à la poulie du côté de m et T' la tension du fil appliquée à la poulie du côté de M. Si l'on considère le tronçon de fil reliant m à la poulie, on peut lui appliquer le principe fondamental de la dynamique, soit
(on oriente positivement le sens où M descend et m monte, ce qui est naturel)
(la masse est nulle) ; donc ; de même
Eliminons les tensions des fils :
;
En substituant ces valeurs de t et T dans la 3e équation :
Le moment d'inertie de la poulie vaut
et l'on peut aussi traduire le déplacement angulaire en déplacement rectiligne par
On peut donc écrire soit
soit bien sûr
En intégrant par rapport au temps
et
Deuxième méthode
L'énergie cinétique totale du système est
si les masses se déplacent de l'abscisse 0 à l'abscisse x, le travail des forces appliquées vaut :
Ce travail vaut la variation du moment cinétique (qui était initialement nul) :
ou
simplifions :
Dérivons les deux membres par rapport au temps :
Ce qui se simplifie en
puis
