Produit scalaire

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= I - Définitions=
  ==1. Mesure algébrique d'un bipoint sur un axe.==

Un bipoint est un couple (''A,B'')  de points.
Un axe est une droite ''D'' munie d'un repère <math>(O,\vec{i})</math>
Soient <math>A,B\in D</math>; 
On définit la __''mesure algébrique''__ du bipoint (''A,B'') par 
<math>\overline{AB}=x_B-x_A</math>.

Il est facile de voir que

<math>\overline{BA}=-\overline{AB}</math>

et qu'on a une formule du type de Chasles :

<math>\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}</math> (si ''A,B,C'' alignés, donc sur le même axe, bien sûr)

En effet, 
<math>\overline{AB}+\overline{BC}=x_B-x_A+x_C-x_B=x_C-x_A=\overline{AC}</math>

==2. Produit scalaire==
Soient trois points ''A,B,C''. Soit ''H'' la projection orthogonale de ''C'' sur (''AB'').
Le __''produit scalaire''__ du vecteur <math>\vec{AB}</math> par le vecteur <math>\vec{AC}</math> est le ''nombre réel''

<math>\vec{AB}.\vec{AC}=\overline{AB}.\overline{AH}</math>

Il est clair que <math>\overline{AB}\,et\,\overline{AH}</math> sont de même signe si l'angle <math>\alpha=\widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}</math> est aigu, et de signes contraires si cet angle est obtus :

Donc si <math>\alpha</math> est aigu, on a <math>\vec{AB}.\vec{AC}=+ AB.AH</math> ;
et si <math>\alpha</math> est obtus, on a <math>\vec{AB}.\vec{AC}=- AB.AH</math>.

On remarquera que la définition du produit scalaire est identique à celle, énoncée en Physique, du __''travail d'une force''__ <math>\vec{F}</math> lors d'un déplacement <math>\vec{AB}</math> :

Si l'angle formé par la force et le vecteur déplacement est aigu, on dit que le travail de la force est ''moteur'' :

<math>W=+||\vec{F}_{1}||.AB>0</math> 
(où 
<math>\vec{F}_{1}</math> est la projection orthogonale de la force sur le déplacement)

et si cet angle est obtus, on dit que ce travail est ''résistant'' :

= II - Deuxième expression du produit scalaire de deux vecteurs=
Il est facile de voir que <math>AH=AC\cos\alpha</math>
Donc

<math>\vec{AB}.\vec{AC}=AB.AC.\cos\alpha</math>

ou, en donnant des noms aux vecteurs :

<math>\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||.\cos\alpha</math>

(__''Deuxième expression du produit scalaire''__)

avec bien sûr, <math>\alpha=\widehat{(\vec{u},\vec{v})}</math>

==Commutativité du produit scalaire==
Puisque l'on sait que <math>\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)</math>, on obtient en partant de cette deuxième expression du produit scalaire :

__''On dit que le produit scalaire est commutatif''__.

==Carré scalaire et carré de la norme d'un vecteur==

On pose <math>\vec{u}.\vec{u}=\vec{u}^2</math>
On appellera ce produit scalaire le ''carré scalaire'' de <math>\vec{u}</math>.

Il est clair que

soit

__''Ainsi, le carré scalaire d'un vecteur n'est autre que le carré de sa norme''.__

La norme d'un vecteur n'est donc autre que la racine carrée de son carré scalaire :

= III - Distributivité du produit scalaire sur l'addition des vecteurs =

Considérons des points ''A,B,C,D''. Soit ''H'' la projection orthogonale de ''C'' sur (''AB''), et ''K'' la projection orthogonale de ''D'' sur (''AB'').

Alors

<math>\vec{AB}.(\vec{AC}+\vec{CD})=\vec{AB}.\vec{AD}=\overline{AB}.\overline{AK}</math>

D'un autre côté,

<math>\vec{AB}.\vec{AC}=\overline{AB}.\overline{AH}</math>

<math>\vec{AB}.\vec{CD}=\overline{AB}.\overline{HK}</math>

(en effet, la projection orthogonale de <math>\vec{CD}</math> sur (''AB'') est <math>\vec{HK}</math>, vu que ''C'' se projette en ''H'' et ''D'' se projette en ''K'')

En additionnant ces deux produits scalaires, on obtient

<math>\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{AB}.\vec{CD}=\overline{AB}(\overline{AH}+\overline{HK})=\overline{AB}.\overline{AK}</math>

__''Le produit scalaire est donc distributif sur l'addition des vecteurs''__ :

et bien sûr, comme il est commutatif, on peut aussi écrire

=IV - Produits scalaires remarquables=
On a, pour tous vecteurs <math>\vec{u},\vec{v}</math> :

1) <math>(\vec{u}+\vec{v})^2=\vec{u}^2+2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2</math>

et puisque le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme, cela s'écrit également :

2) <math>(\vec{u}-\vec{v})^2=\vec{u}^2-2\vec{u}.\vec{v}+\vec{v}^2</math>

soit aussi

3) <math>(\vec{u}-\vec{v}).(\vec{u}+\vec{v})=\vec{u}^2-\vec{v}^2</math>

soit aussi

Prouvons juste le premier résultat :

= IV - Pseudo-associativité pour la multiplication des réels et la multiplication d'un vecteur par un réel=

Le théorème de Thalès nous montre facilement que

<math>(\lambda\vec{AB}).\vec{AC}=\vec{AB}.(\lambda\vec{AC})=\lambda(\vec{AB}.\vec{AC})</math>

Donc, pour tous vecteurs <math>\vec{u},\vec{v}</math> et tout réel <math>\lambda</math>,

<math>(\lambda\vec{u}).\vec{v}=\vec{u}.(\lambda\vec{v})=\lambda(\vec{u}.\vec{v})</math>

= VI - Orthogonalité=
__Par définition__, on dira que <math>\vec{u}\perp\vec{v}</math> si et seulement si <math>\vec{u}.\vec{v}=0</math> :

<math>\vec{u}\perp\vec{v}\Leftrightarrow \vec{u}.\vec#{v}=0</math>

Puisque <math>\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||.\cos(\widehat{\vec{u},\vec{v})</math>
on peut dire que deux vecteurs sont orthogonaux si <math>||\vec{u}||=0\,\,ou\,\, ||\vec{v}||=0\,\,ou\,\,(\widehat{\vec{u},\vec{v})}=\frac{\pi}{2}+k\pi\, ;\,k\in\mathbb{Z}</math>

Autrement dit, deux vecteurs sont orthogonaux si l'un d'eux au moins est nul, ou s'ils sont à angle droit l'un de l'autre.

Sommaire

1 I - Définitions
1.1 1. Mesure algébrique d'un bipoint sur un axe.
1.2 2. Produit scalaire
2 II - Deuxième expression du produit scalaire de deux vecteurs
2.1 Commutativité du produit scalaire
2.2 Carré scalaire et carré de la norme d'un vecteur
3 III - Distributivité du produit scalaire sur l'addition des vecteurs
4 IV - Produits scalaires remarquables
5 IV - Pseudo-associativité pour la multiplication des réels et la multiplication d'un vecteur par un réel
6 VI - Orthogonalité

I - Définitions

1. Mesure algébrique d'un bipoint sur un axe.

Un bipoint est un couple (A,B) de points.
Un axe est une droite D munie d'un repère $Formule mathématique$
Soient $Formule mathématique$ ;
On définit la mesure algébrique du bipoint (A,B) par
$Formule mathématique$ .

Il est facile de voir que

$Formule mathématique$

et qu'on a une formule du type de Chasles :

$Formule mathématique$ (si A,B,C alignés, donc sur le même axe, bien sûr)

En effet,
$Formule mathématique$

2. Produit scalaire

Soient trois points A,B,C. Soit H la projection orthogonale de C sur (AB).
Le produit scalaire du vecteur $Formule mathématique$ par le vecteur $Formule mathématique$ est le nombre réel

$Formule mathématique$

Il est clair que $Formule mathématique$ sont de même signe si l'angle $Formule mathématique$ est aigu, et de signes contraires si cet angle est obtus :

Donc si $Formule mathématique$ est aigu, on a $Formule mathématique$ ;
et si $Formule mathématique$ est obtus, on a $Formule mathématique$ .

On remarquera que la définition du produit scalaire est identique à celle, énoncée en Physique, du travail d'une force $Formule mathématique$ lors d'un déplacement $Formule mathématique$ :

$Formule mathématique$

Si l'angle formé par la force et le vecteur déplacement est aigu, on dit que le travail de la force est moteur :

$Formule mathématique$
(où
$Formule mathématique$ est la projection orthogonale de la force sur le déplacement)

et si cet angle est obtus, on dit que ce travail est résistant :

$Formule mathématique$

II - Deuxième expression du produit scalaire de deux vecteurs

Il est facile de voir que $Formule mathématique$
Donc

$Formule mathématique$

ou, en donnant des noms aux vecteurs :

$Formule mathématique$

(Deuxième expression du produit scalaire)

avec bien sûr, $Formule mathématique$

Commutativité du produit scalaire

Puisque l'on sait que $Formule mathématique$ , on obtient en partant de cette deuxième expression du produit scalaire :

$Formule mathématique$

On dit que le produit scalaire est commutatif.

Carré scalaire et carré de la norme d'un vecteur

On pose $Formule mathématique$
On appellera ce produit scalaire le carré scalaire de $Formule mathématique$ .

Il est clair que

$Formule mathématique$

soit

$Formule mathématique$

Ainsi, le carré scalaire d'un vecteur n'est autre que le carré de sa norme.

La norme d'un vecteur n'est donc autre que la racine carrée de son carré scalaire :

$Formule mathématique$

III - Distributivité du produit scalaire sur l'addition des vecteurs

Considérons des points A,B,C,D. Soit H la projection orthogonale de C sur (AB), et K la projection orthogonale de D sur (AB).

Alors

$Formule mathématique$

D'un autre côté,

$Formule mathématique$

(en effet, la projection orthogonale de $Formule mathématique$ sur (AB) est $Formule mathématique$ , vu que C se projette en H et D se projette en K)

En additionnant ces deux produits scalaires, on obtient

$Formule mathématique$

Le produit scalaire est donc distributif sur l'addition des vecteurs :

$Formule mathématique$

et bien sûr, comme il est commutatif, on peut aussi écrire

$Formule mathématique$

IV - Produits scalaires remarquables

On a, pour tous vecteurs $Formule mathématique$ :

1) $Formule mathématique$

et puisque le carré scalaire d'un vecteur est le carré de sa norme, cela s'écrit également :

$Formule mathématique$

2) $Formule mathématique$

soit aussi

$Formule mathématique$

3) $Formule mathématique$

soit aussi

$Formule mathématique$

Prouvons juste le premier résultat :

$Formule mathématique$

IV - Pseudo-associativité pour la multiplication des réels et la multiplication d'un vecteur par un réel

Le théorème de Thalès nous montre facilement que

$Formule mathématique$

Donc, pour tous vecteurs $Formule mathématique$ et tout réel $Formule mathématique$ ,

$Formule mathématique$

VI - Orthogonalité

Par définition, on dira que $Formule mathématique$ si et seulement si $Formule mathématique$ :

$Formule mathématique$

Puisque $Formule mathématique$
on peut dire que deux vecteurs sont orthogonaux si $Formule mathématique$

Autrement dit, deux vecteurs sont orthogonaux si l'un d'eux au moins est nul, ou s'ils sont à angle droit l'un de l'autre.

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Produit scalaire

Sommaire

I - Définitions

1. Mesure algébrique d'un bipoint sur un axe.

2. Produit scalaire

II - Deuxième expression du produit scalaire de deux vecteurs

Commutativité du produit scalaire

Carré scalaire et carré de la norme d'un vecteur

III - Distributivité du produit scalaire sur l'addition des vecteurs

IV - Produits scalaires remarquables

IV - Pseudo-associativité pour la multiplication des réels et la multiplication d'un vecteur par un réel

VI - Orthogonalité