Produit scalaire

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= I - Définitions=
  ==1. Mesure algébrique d'un bipoint sur un axe.==

Un bipoint est un couple (''A,B'')  de points.
Un axe est une droite ''D'' munie d'un repère <math>(O,\vec{i})</math>
Soient <math>A,B\in D</math>; 
On définit la __''mesure algébrique''__ du bipoint (''A,B'') par 
<math>\overline{AB}=x_B-x_A</math>.

Il est facile de voir que

<math>\overline{BA}=-\overline{AB}</math>

et qu'on a une formule du type de Chasles :

<math>\overline{AC}=\overline{AB}+\overline{BC}</math> (si ''A,B,C'' alignés, donc sur le même axe, bien sûr)

En effet, 
<math>\overline{AB}+\overline{BC}=x_B-x_A+x_C-x_B=x_C-x_A=\overline{AC}</math>

==2. Produit scalaire==
Soient trois points ''A,B,C''. Soit ''H'' la projection orthogonale de ''C'' sur (''AB'').
Le __''produit scalaire''__ du vecteur <math>\vec{AB}</math> par le vecteur <math>\vec{AC}</math> est le ''nombre réel''

<math>\vec{AB}.\vec{AC}=\overline{AB}.\overline{AH}</math>

Il est clair que <math>\overline{AB}\,et\,\overline{AH}</math> sont de même signe si l'angle <math>\alpha=\widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}</math> est aigu, et de signes contraires si cet angle est obtus :

Donc si <math>\alpha</math> est aigu, on a <math>\vec{AB}.\vec{AC}=+ AB.AH</math> ;
et si <math>\alpha</math> est obtus, on a <math>\vec{AB}.\vec{AC}=- AB.AH</math>.

On remarquera que la définition du produit scalaire est identique à celle, énoncée en Physique, du __''travail d'une force''__ <math>\vec{F}</math> lors d'un déplacement <math>\vec{AB}</math> :

Si l'angle formé par la force et le vecteur déplacement est aigu, on dit que le travail de la force est ''moteur'' :

<math>W=+||\vec{F}_{1}||.AB>0</math> 
(où 
<math>\vec{F}_{1}</math> est la projection orthogonale de la force sur le déplacement)

et si cet angle est obtus, on dit que ce travail est ''résistant'' :

I - Définitions

1. Mesure algébrique d'un bipoint sur un axe.

Un bipoint est un couple (A,B) de points.
Un axe est une droite D munie d'un repère $Formule mathématique$
Soient $Formule mathématique$ ;
On définit la mesure algébrique du bipoint (A,B) par
$Formule mathématique$ .

Il est facile de voir que

$Formule mathématique$

et qu'on a une formule du type de Chasles :

$Formule mathématique$ (si A,B,C alignés, donc sur le même axe, bien sûr)

En effet,
$Formule mathématique$

2. Produit scalaire

Soient trois points A,B,C. Soit H la projection orthogonale de C sur (AB).
Le produit scalaire du vecteur $Formule mathématique$ par le vecteur $Formule mathématique$ est le nombre réel

$Formule mathématique$

Il est clair que $Formule mathématique$ sont de même signe si l'angle $Formule mathématique$ est aigu, et de signes contraires si cet angle est obtus :

Donc si $Formule mathématique$ est aigu, on a $Formule mathématique$ ;
et si $Formule mathématique$ est obtus, on a $Formule mathématique$ .

On remarquera que la définition du produit scalaire est identique à celle, énoncée en Physique, du travail d'une force $Formule mathématique$ lors d'un déplacement $Formule mathématique$ :