Produit scalaire

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==2. Produit scalaire==
Soient trois points ''A,B,C''. Soit ''H'' la projection orthogonale de ''C'' sur (''AB'').
Le __''produit scalaire''__ du vecteur <math>\vec{AB}</math> par le vecteur <math>\vec{AC}</math> est le ''nombre réel''

<math>\vec{AB}.\vec{AC}=\overline{AB}.\overline{AH}</math>

Il est clair que <math>\overline{AB}\,et\,\overline{AH}</math> sont de même signe si l'angle <math>\alpha=\widehat{(\vec{AB},\vec{AC})}</math> est aigu, et de signes contraires si cet angle est obtus :

Donc si <math>\alpha</math> est aigu, on a <math>\vec{AB}.\vec{AC}=+ AB.AH</math> ;
et si <math>\alpha</math> est obtus, on a <math>\vec{AB}.\vec{AC}=- AB.AH</math>.

On remarquera que la définition du produit scalaire est identique à celle, énoncée en Physique, du __''travail d'une force''__ <math>\vec{F}</math> lors d'un déplacement <math>\vec{AB}</math> :

Si l'angle formé par la force et le vecteur déplacement est aigu, on dit que le travail de la force est ''moteur'' :

<math>W=+||\vec{F}_{1}||.AB>0</math> 
(où 
<math>\vec{F}_{1}</math> est la projection orthogonale de la force sur le déplacement)

et si cet angle est obtus, on dit que ce travail est ''résistant'' :

2. Produit scalaire

Soient trois points A,B,C. Soit H la projection orthogonale de C sur (AB).
Le produit scalaire du vecteur $Formule mathématique$ par le vecteur $Formule mathématique$ est le nombre réel

$Formule mathématique$

Il est clair que $Formule mathématique$ sont de même signe si l'angle $Formule mathématique$ est aigu, et de signes contraires si cet angle est obtus :

Donc si $Formule mathématique$ est aigu, on a $Formule mathématique$ ;
et si $Formule mathématique$ est obtus, on a $Formule mathématique$ .

On remarquera que la définition du produit scalaire est identique à celle, énoncée en Physique, du travail d'une force $Formule mathématique$ lors d'un déplacement $Formule mathématique$ :