Produit scalaire

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= II - Deuxième expression du produit scalaire de deux vecteurs=
Il est facile de voir que <math>AH=AC\cos\alpha</math>
Donc

<math>\vec{AB}.\vec{AC}=AB.AC.\cos\alpha</math>

ou, en donnant des noms aux vecteurs :

<math>\vec{u}.\vec{v}=||\vec{u}||.||\vec{v}||.\cos\alpha</math>

(__''Deuxième expression du produit scalaire''__)

avec bien sûr, <math>\alpha=\widehat{(\vec{u},\vec{v})}</math>

==Commutativité du produit scalaire==
Puisque l'on sait que <math>\cos(\alpha)=\cos(-\alpha)</math>, on obtient en partant de cette deuxième expression du produit scalaire :

__''On dit que le produit scalaire est commutatif''__.

==Carré scalaire et carré de la norme d'un vecteur==

On pose <math>\vec{u}.\vec{u}=\vec{u}^2</math>
On appellera ce produit scalaire le ''carré scalaire'' de <math>\vec{u}</math>.

Il est clair que

soit

__''Ainsi, le carré scalaire d'un vecteur n'est autre que le carré de sa norme''.__

La norme d'un vecteur n'est donc autre que la racine carrée de son carré scalaire :