Produit scalaire

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= III - Distributivité du produit scalaire sur l'addition des vecteurs =

Considérons des points ''A,B,C,D''. Soit ''H'' la projection orthogonale de ''C'' sur (''AB''), et ''K'' la projection orthogonale de ''D'' sur (''AB'').

Alors

<math>\vec{AB}.(\vec{AC}+\vec{CD})=\vec{AB}.\vec{AD}=\overline{AB}.\overline{AK}</math>

D'un autre côté,

<math>\vec{AB}.\vec{AC}=\overline{AB}.\overline{AH}</math>

<math>\vec{AB}.\vec{CD}=\overline{AB}.\overline{HK}</math>

(en effet, la projection orthogonale de <math>\vec{CD}</math> sur (''AB'') est <math>\vec{HK}</math>, vu que ''C'' se projette en ''H'' et ''D'' se projette en ''K'')

En additionnant ces deux produits scalaires, on obtient

<math>\vec{AB}.\vec{AC}+\vec{AB}.\vec{CD}=\overline{AB}(\overline{AH}+\overline{HK})=\overline{AB}.\overline{AK}</math>

__''Le produit scalaire est donc distributif sur l'addition des vecteurs''__ :

et bien sûr, comme il est commutatif, on peut aussi écrire