Démonstration de la formule de l'énergie cinétique d'un solide en rotation

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=Exemples=
1) Anneau mince tournant autour de son axe de symétrie
On considère cet anneau comme "mince" si son rayon est grand par rapport à son épaisseur.
Alors il est évident qu'on a
<math>J=mR^2</math>
(puisque tous les <math>r_i\simeq R</math>)

2) Tige de longueur l et de masse m tournant autour d'une de ses extrémités autour d'un axe qui lui est perpendiculaire.
On peut subdiviser par la pensée cette tige en n morceaux de longueur <math>\frac{l}{n}</math>.
On considère l'axe dont l'origine est le point de la tige où passe l'axe de rotation, et tel que l'abscisse de l'extrémité de la tige soit l.(\
Le moment d'inertie de la tige est
<math>J=\frac{1}{2}\frac{m}{n}\left[\left(\frac{l}{2n}\right)^2+\left(\frac{l}{2n}+\frac{l}{n}\right)^2+...+\left(\frac{l}{2n}+\frac{(n-1)l}{n}\right)^2\right]</math>

<math>=\frac{m}{2n}\left[n\frac{l^2}{4n^2}+\frac{(n-1)nl^2}{n^2}+\frac{1}{6}\frac{(n-1)n(2n-1)}{n^2}\right]</math>
Pour <math>n\to +\infty</math>, ceci tend vers <math>\frac{1}{3}ml^2</math>.
On a donc :
<math>J=\frac{1}{3}ml^2</math>

3) Tige de longueur L et de masse m tournant autour d'un axe passant en son centre et qui lui est perpendiculaire.
On peut reprendre la formule précédente, en posant <math>L=2l</math> soit <math>l=\frac{L}{2}</math>

Le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe est

<math>J=2\frac{1}{3}\frac{m}{2}\left(\frac{L}{2}\right)^2=\frac{1}{12}mL^2 </math>

Exemples

1) Anneau mince tournant autour de son axe de symétrie
On considère cet anneau comme "mince" si son rayon est grand par rapport à son épaisseur.
Alors il est évident qu'on a
$Formule mathématique$
(puisque tous les $Formule mathématique$ )

2) Tige de longueur l et de masse m tournant autour d'une de ses extrémités autour d'un axe qui lui est perpendiculaire.
On peut subdiviser par la pensée cette tige en n morceaux de longueur $Formule mathématique$ .
On considère l'axe dont l'origine est le point de la tige où passe l'axe de rotation, et tel que l'abscisse de l'extrémité de la tige soit l.(\
Le moment d'inertie de la tige est
$Formule mathématique$

$Formule mathématique$
Pour $Formule mathématique$ , ceci tend vers $Formule mathématique$ .
On a donc :
$Formule mathématique$

3) Tige de longueur L et de masse m tournant autour d'un axe passant en son centre et qui lui est perpendiculaire.
On peut reprendre la formule précédente, en posant $Formule mathématique$ soit $Formule mathématique$

Le moment d'inertie de la tige par rapport à l'axe est

$Formule mathématique$

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